Néha a jó matematikai jelölés kidolgozása kulcsfontosságú a matematika egyes részeinek megértésében. Vegyük például a másodfokú képletet.
Brahmagupta megadta a másodfokú képlet egy változatát a Kr. u. 628-ban, amely a következőképpen szól:
Az abszolút számra, szorozva a négyzet [négyzetének együtthatójával], add hozzá a középtag [együtthatójának] négyzetét; ennek ugyanaz a négyzetgyöke, levonva a [középtag együtthatóját], elosztva a négyzet [együtthatójának] kétszeresével.
Hasonlítsa össze ezt modern jelölésünkkel:
$$ \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2 - 4ac}} {2a} $$
A modern jelölés nem csak tömörebb, hanem a másodfokú egyenletek bizonyos tulajdonságai nyilvánvalóbbak. Például könnyű meghatározni a másodfokú egyenlet valódi gyökereinek számát a modern képlet segítségével. De Brahmagupta képlete átláthatatlanabb, és nem azonnal nyilvánvaló, hogyan lehet megtalálni a valós gyökerek számát.
Második példa a 0 számjegy és a helyérték rendszer bevezetése. Bonyolult számtan elvégzése során a római számokat nehéz kezelni. De a helyértékrendszerrel rendelkező számrendszerek sokkal intuitívabban képesek kezelni az összeadást.
Amit keresek, a matematikai jelölés konkrét példái, ahol bevezetése felgyorsította az előrehaladást az adott területen. Különösen az elemi matematika érdekel - pl minden az 1700-as évek előtt - de a modernebb matematika példáit is szívesen látjuk.