A hozzászólásodnak megfelelően, amely a linkelt cikk részleteit kéri:

Besenyei írása a Rolle-tétel általános formájú fejlődésének történetével kezdődik. Ezt követi a Rolle-tétel MVT-vel egyenértékű általánosításainak története, amelyet olyan személyeknek tulajdonítanak, mint Cauchy, Bonnet, Serret, Dini és Harnack.

Besenyei cikkét nézve először úgy tűnik, hogy Joseph Alfred Serret elsőként állítja és bizonyítja az eredményt a mai formájában, azonban ez nem így van - kérjük, olvassa el alább. Serret 1868-as Cours de calcu infinitesimal jából I. tételként (fordítás):

Legyen $ f (x) $ $ x $ függvénye, amely folytonos marad $ x $ értéke két megadott határ között, és amely ezekhez az értékekhez jól definiált $ f '(x) $ származékkal rendelkezik. Ha $ x_0 $ és $ X $ két $ x $ értéket jelöl ugyanazon határok között, akkor a következő $$ \ frac {f (X) - f (x_0)} {X-x_0} = f '(x_1) $$ A $ x_1 $ értéke $ x_0 $ és $ X $ között lesz.

Besenyei papírja nem tartalmazza a megfelelő igazolást.

Ez megjelenik a 11/15 jelzésű oldal (jobb alsó sarokban) - a PDF dokumentum 83/152. oldala.

Azonban Renaud Chorlay írása szerint Serret itt egyszerűen Bonnet igazolását állítja. (Lásd a PDF dokumentum 7. oldalának 16. oldalát.) Így úgy tűnik, hogy a helyes válasz arra, hogy ki bizonyította először az MVT-t modern formájában, a Pierre-Ossian Bonnet . Úgy tűnik, hogy a Renaud Chorlay-papír Bonnet bizonyítékát adja.

Ez a következtetés látszólag ellentétes az MVT wikipédia-bejegyzésével, amely szerint Cauchy az első, aki ezt modernnek nyilatkozta. forma. Cauchy állítása az MVT-ről valójában az MVT kiterjesztése, és két különböző folyamatos függvénnyel foglalkozik: $ f $ és $ g $, amelyek $$ \ frac {f (b) -f (a)} {g (b) -g (a)} = \ frac {f '(c)} {g' (c)} $$ és amely megelőzi az MVT Serret / Bonnet verzióját.

SZERKESZTÉS erős>

Ahogy Mikhail kommentárjában rámutatott, a helyes válasz valójában Cauchy, amint ez Besenyei dolgozatából kiderül. Cauchy mindkét formában megadja az MVT-t.

A tétel fekete-fehér a Lagrange Théorie des fonctions analytiques -ben, mint a „Taylor-tétel Lagrange -nel fennmaradó kezdeti esete. ”(1797, §§51–53):

Ennélfogva a $ P $ mennyiség értéke $ z = 1 $ -hoz viszonyítva [azaz $ \ frac {f (x) \ - \ f (0)} x $] kifejezhető $ f'u ​​$ -val, $ u $ pedig $ 0 $ és $ x $ közötti mennyiség. Hasonlóképpen (...)

52. Végül ez az új tétel, figyelemre méltó az egyszerűségében és az általánosságában, miszerint $ u $ -val jelöl egy ismeretlen mennyiséget, de a $ 0 $ és $ x $ határok között van, egymás után kifejleszthető a $ x $ és tetszőleges tetszőleges funkciója egyéb mennyiségek a $ x $ hatványai szerint, így (...) \ kezdődik {align} f (z + x) & = fz + x \, f '(z + u), \\ & = fz + x \, f'z + \ frac {x ^ 2} 2 \, f '' (z + u), \\ & = fz + x \, f'z + \ frac {x ^ 2} 2 \, f ' 'z + \ frac {x ^ 3} {2.3} \, f' '' (z + u), \\ & \ \ \ & \ mathrm c. \ end {align}

Lagrange a következő könyvében (1798, 166., 175. oldal) is megfogalmazza a „Rolle” esetet:

A maxima figyelembevétele és a parabolikus vonalak minimumai hoz vezetett Stirling a valódi gyökerek megszámlálására és megkötésére szolgáló módszerhez a 3. és 4. fokozatban, amelyet Euler a differenciálszámításában általánosított [ 298. §]. Ez a módszer alapvetően Rolle-ra (... :)

a $ \ mathrm F \, x = 0 $ egyenlet két egymást követő valós gyöke között áll össze, mindig az egyenlet valódi gyökere esik $ \ mathrm F'x = 0 $.

Tehát megkérdőjelezem a Cauchy által elfogadott hozzárendelést (Wikipédia 2007, 2016) - bár természetesen mindez azon múlik: „először bebizonyítani” milyen feltételezések mellett és mennyire szigorúan? Ennek megbeszélésére: pl.

• Dugac, Pierre , Histoire du théorème des accroissements finis, Arch. Int. Hist. Sci. 30, 86-101 (1980). ZBL0447.26003.

• Grabiner, Judith , Pierre Dugac „Histoire du théorème des accroissements finis” áttekintése. Párizs (Université Pierre et Marie Curie). 1979. 60 p. Historia Math. 8, 214-219 (1981).

• Persson, Lars-Erik; Rafeiro, Humberto; Wall, Peter , A Taylor fennmaradó részének áttekintése , Jegyzetfüzet. 37, 1-21 (2017). MR3733800.

Szerkesztés igény szerint:

Röviden: Dugac vitatkozik (és megismétli egy későbbi papír és könyv), amely 1º) Lagrange először kiemelte, kimondta és bebizonyította - talán nem egyértelműen - az analitikai funkciók átlagértékét; 2º) Cavalieri (1635, 19. o.) olyan mértékben előrevetítette; 3º) az első meggyőző vagy „szigorú” bizonyíték nyomtatásban: Dini (1878, 71. o.). Számomra ez mind meglehetősen ellentmondásos: a könyv, amiből megtanultam, „Lagrange-tételnek” nevezte. Tehát nem elég a kevesen mások. A jelenlegi tankönyvek ( Thomas, Stewart, Petrovic, ...) Lagrange-nak tulajdonítják. Tehát Bottazzini ( 1986, 53. o.), Grabiner (1981, 122. oldal), Edwards (1979, 313. o.), Cajori (1910, 308-311. P.), az Encyklopädie (1899, II A 2 §7, 11) stb. egészen Lacroix-ig (1810: 1. évf., p. liv, 385-386; 1800: 3. kötet, p. vii , 384). Kíváncsi vagyok, vajon Besenyei lehet-e az az egyetlen szerző, aki nem tulajdonítja a tételt Lagrange-nak?

Ennek ellenére igaz, hogy széles hangsúlyváltás történt ahogyan Lagrange gondolkodott a tételéről, és ahogyan ezt most felhasználjuk (és bebizonyítjuk). Amellett, hogy már tartalmazza a fenti történet nagy részét, a francia Encyclopédie cikk (1912, II 3 §§11, 22) ezt jól elmondja a 116. lábjegyzetben:

Rolle ¹¹⁴⁾ tételéből könnyen levezethető az ¹¹⁵⁾ az átlagérték képlete , amely az egész számításban alapvető szerepet játszik ¹¹⁶⁾ és szintén - Rolle tételéhez hasonlóan - alapvetően puszta fordítása annak a intuitív ténynek a pontos nyelvére, hogy B. Cavalieri felhívta a geometrák figyelmét.

^{114) Rolle tételének első szigorú bizonyításáról lásd: A. Pringsheim (1900, 454. o.); lásd még U. Dini (1878, 75. oldal); A. Harnack (1881); M. Pasch (1882); P. Kúria (1887); J. Bőrgyár ban (1886); A. Demoulin (1902).}

^{115) Az École politechnikában tartott előadásaiban O. Bonnet teljes mértékben szigorúan demonstrálta ezt a képletet Rolle tétele alapján. Igazolást adott Rolle tételéről is, amelyet legalább annyira kitettek a J. A. Serret t (1868, 17–19. P.) közel sem immunizált a kifogásokkal szemben. (...)}

^{116) Meg kell jegyeznünk, hogy ez az alapvető szerep főleg a Calculus ma általánosan elfogadott expozíciós módjából fakad. A J. L. Lagrange , aki más nézetet vallott, ez a képlet csupán Taylor képletének következménye volt (1797, 49. o.).}

Összefoglalva, egyelőre (ezekre a hivatkozásokra támaszkodva és a javításoktól függően):

1635: Cavalieri közli az MVT-t, tehát Rolle. (A bizonyítást elutasította Guldin, 1640.)
1690: Rolle bizonyítja Rolle-t a polinomokra.
1755: Euler kijelöli Rolle-t a differenciálható funkciókért. (Az akkor elfogadott bizonyítási vázlat.)
1797: Lagrange bizonyítja az MVT (tehát Rolle) elemzési funkcióit. (Akkoriban elfogadott bizonyíték.)
1823: Cauchy bebizonyítja az MVT-t (tehát Rolle) a C ¹ funkciókhoz. (A bizonyítás lényegében megegyezik Lagrange-nal.)
1868: A motorháztető átrendezi az MVT bizonyítékát, hogy Rolle-re támaszkodik. 1878: Dini bizonyítja Rolle-t (tehát most az MVT-t) a differenciálható funkciókért. (Jelenlegi bizonyítékunk.)