Heisenberg 1925-ben megjelent lapja fordult az operátorok felé, és ez kompromisszum volt Bohr és Born álláspontja között. Bohr minimális módosításokat szeretett volna a klasszikus mechanikában, mint például a hidrogénatomra vonatkozó kvantálási szabályait, míg Born egy új diszkrét mechanikát, amelyet különbségegyenletek irányítanak. Heisenberg ötlete az volt, hogy a mozgásegyenleteket többé-kevésbé klasszikusan megtartsa, de a szimbólumokat újraértelmezze bennük. Ezek a szimbólumok megfigyelhetőséget (helyzet, lendület, energia stb.) Képviselnek, Hamilton-dinamikában pedig a fázisteret alkotó $ x $ és momenta $ p $ függvények. Ezt az elképzelést alkalmazva Heisenberg rájött, hogy szimbólumai nem ingáznak, például $ xp-px = i \ hbar $ a Planck konstans $ \ hbar $ értékkel, így ezek nem lehetnek számok. Matematikus barátja rámutatott, hogy a mátrixok nem ingáznak, és kielégíthetik az ilyen kapcsolatokat, és ez adta Heisenberg javaslatának a nevét, a mátrixmechanikát. Kivéve, hogy mivel egy atom elektronjainak végtelen sok energiaszintje van, ezeknek a "mátrixoknak" végtelen méretűeknek kellett lenniük.
Ugyanebben az időben, amikor Schrodinger más szemszögből dolgozott, a kvantumhatásokat hullámdinamikussá kívánta csökkenteni. Tehát a fázistérben a $ \ psi $ hullámfüggvényekkel ábrázolta a kvantumrendszerek állapotát, és mozgásegyenleteket keresett. Az volt az elképzelése, hogy a kvantumrészecskék hullámcsomagok, és eredetileg a $ | \ psi | ^ 2 $ -ra gondolt töltéssűrűségként, csak később Born valószínűségi sűrűséggel azonosította. Miután kijött a mátrixmechanika, Schrodinger rájött, hogy megfigyelhető tárgyakat kell bevezetnie a képébe, de ezek nem lehetnek puszta szimbólumok. Mivel az állapotok a fázistér hullámfüggvényei, nem pedig annak pontjai, a megfigyelhetőek nem lehetnek ezek függvényei, olyan hullámfüggvényekre kell hatniuk, mint a mátrixok a vektorokra. Néhány kísérlet után, 1926-ban, előállt egy pozíció szorzatával egy szorzó operátorral $ \ psi \ mapsto x \ psi $, és a lendületet differenciálással $ \ psi \ mapsto-i \ hbar \ frac {\ részleges \ psi} {\ részleges x } $. A nagy nyom az volt, hogy ha $ x, p $ -ra gondolunk, mint ezek az operátorok, akkor $ (xp-px) \ psi = i \ hbar \, \ psi $. Akkor ezekből más megfigyelhetőt is kialakíthatunk. A klasszikus kinetikus energia $ p ^ 2 / 2m $, a $ p $ helyett annak operátora kapjuk meg a $ - \ frac {\ hbar ^ 2} {2m} \ frac {\ részleges ^ 2} {\ részleges x ^ 2} $ értéket. a Schrodinger-egyenletből. A klasszikus oszcillátor teljes energiája $ p ^ 2 / 2m + kx ^ 2/2 $, a helyettesítésével megkapjuk a kvantumoszcillátor Hamilton-értékét - } {\ részleges x ^ 2} + \ frac {kx ^ 2} 2 $. És így tovább.
1930-ban Dirac ezt a képet konceptualizálta a A kvantummechanika alapelvei (1930) című tankönyvében, ahol többek között bevezette a bra-ket jelölést. Ezután von Neumann axiomatikus megfogalmazást adott az absztrakt Hilbert-tér fogalmán alapulva, amelyet bevezetett, és megállapította, hogy a mátrix- és hullámmechanika ugyanazon dologról beszél két különböző módon. Schrodinger képén az állapotok egy Hilbert-tér elemeivé váltak, nevezetesen a pozíciótéren lévő négyzet alakú integrálható (hullám) függvények $ L ^ 2 $ térje. A megfigyelhetõk önálló operátorok lettek rajta. Ortonormális alap választása esetén ebben a térben azonban az állapotok (végtelen) vektorokká válnak, az operátorok pedig (végtelen) mátrixokká. Ez Heisenberg képe.
Van egy releváns szál a Physics SE-n. Hogyan jöttek létre az operátorok? Landsman szép rövid áttekintést ad a Between Classical történeti fejleményeiről. és a Quantum. Átfogóbb hivatkozások: Kragh Quantum Generations és Jammer klasszikus Kvantummechanikai Fogalmi Fejlesztése.