Ajánlom Weibel A homológiai algebra története jét ( 1999) ( pdf). Számos szálat ír le, például a csoportkohomológia gyökereit Hurewicz megfigyelésében, amely szerint az aszférikus tér $ Y $ kohomológiája csak attól függ (amit most kohomológiának hívunk) $ \ pi = \ pi_1 (Y) $:

[Mivel] a (z) $ Y $ homológiai és kohomológiai csoportok (együtthatóval $ A $-ban) függetlenek a $ Y $ választásától, Eilenberg és Mac Lane a $ H_n ( \ pi; A) $ és $ H ^ n (\ pi; A) $. A számítások elvégzéséhez Eilenberg és Mac Lane egy meghatározott absztrakt egyszerű komplexumot választott $ K (\ pi) $ az aszférikus térhez Y $. (...) Így a $ \ pi $ kohomológiai csoportjainak kiszámításának egyik módja az volt, hogy a $ K (\ pi) $ cellochochain komplexet használtuk, amelynek $ n $ -láncai $ f: \ pi ^ q \ függvények. A $ -ig.

Tehát az egyszerűségek nem a $ \ pi $, hanem a $ K (\ pi) $ fájlban találhatók. Egy másik kulcsfontosságú szál jól összefoglalva Chevalley-Eilenberg ( 1948) első soraiban:

[Szisztematikusan kezeljük azokat a módszereket, amelyekkel a a kompakt Lie csoportok algebrai kérdésekre redukálhatók a Lie algebrákkal kapcsolatban. Ez a redukció három lépésben halad: (1) a homológiai csoportokra vonatkozó kérdések helyettesítése a differenciális formák kérdésével. Ezt de Rham tételei valósítják meg (amelyeket egyébként úgy tűnik, hogy Cartan éppen erre a célra sejtette); (2) az önkényes differenciálformák figyelembevételének felváltása az invariáns differenciálformákra: ezt úgy hajtjuk végre, hogy invariáns integrációt alkalmazunk a csoport sokaságán; (3) az invariáns differenciálformák figyelembevételének felváltása a váltakozó többvonalas formákkal a csoport Lie algebráján.

A Francois Ziegler által adott válasz kiegészítéseként hozzáadom Henri Cartan és Samuel Eilenberg Homológiai algebra (1956) első három bekezdését:

Az elmúlt évtizedben az algebrai topológia módszerei kiterjedten behatoltak a tiszta algebra területére, és számos belső forradalmat indítottak el. Ennek a könyvnek az a célja, hogy egységes beszámolót adjon ezekről a fejleményekről, és megalapozza egy teljes értékű elméletet. Hazugság algebrák és asszociatív algebrák. A három alany független, de párhuzamos fejlesztéseket kapott. Itt egyetlen kohomológia (és egyben homológia) elméletet mutatunk be, amely mindhármat testesíti meg; mindegyiket megfelelő szakirányból nyerik belőle.

Ennek az egyesítésnek minden szokásos előnye megvan. Egy bizonyíték helyettesíti a hármat. Ezenkívül a három szakterületen belül az interinterplay zajlik; mindegyik gazdagítja a másik kettőt.